Олимпиада по математике 10 класс, задания, уравнения, задачи с ответами

Часто ученики 10 класса относятся к занятиям с легким пренебрежением, ведь ГИА уже позади, а ЕГЭ кажется  . На уроках математики в 10 классе учащиеся знакомятся с такими темами, как «Числовые функции и их свойства», «Тригонометрические функции» и «Тригонометрические уравнения», «Производная». Для закрепления изученного материала, школьникам нужно много и упорно заниматься решением задач разной сложности.

Олимпиадные задания по математике помогают ученикам 10 класса закрепить полученные знания, а также расширить и углубить их.

На этой странице собраны примеры уравнений и задач с ответами и решениями, а также математические загадки, решение которых требует нестандартного мышления. Данный материал может использоваться на уроках или во время самостоятельной подготовки. Рекомендован учителям, репетиторам, родителям и учащимся.

Уравнения

1. Решите уравнение: 1

2. Решите уравнение: 3

3. Решите уравнение: 5

4. Решите уравнение: 7

5. Решите уравнение: 9

6. Решите уравнение: 11

7. Решите уравнение: 13

8. Решите уравнение: 15

9. Решите уравнение: 17

10. Решите уравнение: 19

Задачи

Задача №1
Учащиеся 10 «а» и 10«б» классов отправились на экскурсию. Юношей было 16, учащихся 10«б» класса – 24, девушек 10«а» столько, сколько юношей из 10«б» класса. Сколько всего учащихся побывали на экскурсии?

Задача №2
Четырехугольник ABCD вписан в окружность диаметра 17. Диагонали АС и ВD перпендикулярны. Найдите стороны АВ, ВС, CD, если известно, что AD = 8 и AB : CD = 3 : 4

Задача №3
Через диагональ прямоугольного параллелепипеда и точку, лежащую на боковом ребре, не пересекающем эту диагональ, проведена плоскость так, чтобы площадь сечения параллелепипеда этой плоскостью была наименьшей. Найдите длины сторон основания параллелепипеда, если известно, что диагонали сечения равны 6 и 2√3 , а угол между ними 30°.

Задача №4
Найти множество значений параметра a, при которых дискриминант уравнения ax^{2} +2x + 1 = 0, в 9 раз больше квадрата разности двух его различных корней?

Задача №5
Известно, что tga  и tg3a  целые. Найдите все возможные значения  tga

Математические загадки

Загадка №1

Можно ли провести в городе 10 автобусных маршрутов и установить на них остановки так, что для любых 8 маршрутов найдётся остановка, не лежащая ни на одном из них, а любые 9 маршрутов проходят через все остановки?

Загадка №2

Сколько существует четырехзначных чисел, не делящихся на 1000, у которых первая и последняя цифры чётны?

Загадка №3

На доске через запятую выписаны числа 1, 2, 3, … 99. Двое играющих по очереди заменяют одну из имеющихся запятых на знак «+» или «*» (умножить). После того как запятых не останется, игроки вычисляют значение полученного выражения. Если результат является нечётным числом, то выигрывает первый, а если чётным – второй. Кто выигрывает при правильной игре?

Загадка №4

Расположите натуральные числа от 1 до 100 в строку так, чтобы разность между  любыми двумя соседними числами была равна 2 или 3.

Загадка №5

На какое наибольшее число натуральных  слагаемых можно разложить число 96 так, чтобы все слагаемые были больше 1 и попарно взаимно просты?

Ответы к уравнениям

Уравнение № 1 № 2 № 3 № 4 № 5
Ответ О1 О3 О5 О7 О9
Уравнение № 6 № 7 № 8 № 9 № 10
Ответ О11 О13 О15 О17 О19

Ответы к задачам

Задача 1
40 учащихся.

Задача 2
AB = 10,2; CD = 13,6; ВС = 15.

Задача 3
1; √3

Задача 4
a ∈ {−3}

Задача 5
−1; 0 или 1.

Ответы на загадки

Загадка 1

Ответ: можно.

Решение. Рассмотрим, например, 10 прямых  плоскости. Никакие  две из  которых не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. Будем считать, что прямые – это автобусные маршруты, а их точки пересечения – остановки. При этом  с каждой остановки можно проехать на любую другую: если остановки лежат на одной прямой, то без пересадки, а если нет, то с одной пересадкой. Далее, если даже отбросить в этой схеме одну прямую, то всё ещё останется возможность проехать с каждой остановки на любую другую, сделав в пути не больше одной пересадки. Однако если отбросить две прямые, то одна остановка (точка пересечения этих прямых) уже вовсе не будет обслуживаться оставшимися маршрутами и с неё будет невозможно проехать на какую- либо другую.

Загадка 2

Ответ: 1996.

Решение. Первая цифра  числа может быть любой из четырёх (2,4,6 или 8), вторая и третья – любой из десяти каждая, а четвёртая, если отказаться от условия « не делящихся на тысячу», — любой из пяти ( 0,2, 4,6 или 8). Следовательно, четырёхзначных чисел, в записи которых первая и последняя цифры чётны, всего имеется 4+10+10+5= 2000; так как среди них четыре числа (2000, 4000, 6000, 8000) делятся на 1000, то чисел, удовлетворяющих условию задачи, окажется 2000 – 4 = 1996.

Загадка 3

Ответ: выигрывает второй игрок.

Решение. Для достижения успеха второй игрок может пользоваться симметричной стратегией: если первый ставит  какой – то знак между числами к и к+1, то второй ставит такой же знак между числами 99-к и 100-к. Выражение, которое получится в конце игры, будет содержать несколько слагаемых – произведений, причём слагаемое,  содержащее число 50, является чётным, а остальные слагаемые естественным образом разобьются на пары «симметричных» слагаемых одинаковой чётности. Таким образом, выражение, полученное в конце игры, окажется чётным.

Загадка 4
Решение. Например, так:1, 3, 5, 2, 4, 6, 8,10, 7, 9 , 11, … , 96, 98, 100,97, 99 (в каждой пятёрке порядок расположения чисел 5к+1,  5к+3, 5к+5, 5к+2,  5к+4).

Загадка 5

Ответ: на  семь слагаемых.

Решение. Приведём пример разбиения числа 96 на семь слагаемых:

96 = 2 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 41.

Если слагаемых больше, то среди них не менее восьми нечётных ( если их семь, то сумма нечётна). Заменим каждое из них на наименьший простой сомножитель. При этом сумма не увеличится, и все слагаемые будут различны.  Но сумма  восьми  наименьших нечётных  простых  чисел равна 98.

Другие классы

Поделись с коллегами: