Олимпиада по математике 9 класс, задания, уравнения, задачи с ответами

Курс математики в 9 классе посвящен достаточно серьезным темам. Ученики знакомятся с решением квадратных неравенств, понятиями множества и подмножества, числовыми функциями и прогрессиями. Участие в олимпиадах по математике для учеников 9 класса является хорошей возможностью подготовки к предстоящей ГИА.

На этой странице предложены реальные примеры олимпиадных заданий по математике. Ученикам предложены уравнения и задачи с решениями и ответами.

Данный материал может использоваться на занятиях для подготовки к олимпиаде, а также во время проведения контрольных или итоговых работ по математике. Подробные решения задач, расписанные внизу страницы помогут провести работу над ошибками и восполнить пробелы в знаниях учащихся.

Уравнения
Задачи
Ответы к уравнениям
Ответы к задачам

Уравнения

1. Решите уравнение: $x$ − $2x^{2}$ − 3 = 0

2. Решите уравнение: $5y^{4}$ − $5y^{2}$ + 2 = 0

3. Решите уравнение: $x^{4}$ − $4x^{2}$ + 4 = 0

4. Решите уравнение: ( $x^{2}$ + $2x$ )( $x^{2}$ + $2x$ + 2) = 3

5. Решите уравнение: x4 − $9x^{2}$ + 18 = 0

6. Решите уравнение: ( $x^{2}$ − $x$ − 16)( $x^{2}$ − $x$ + 2) = 88

7. Решите уравнение: ( $x^{2}$ + $x$ )( $x^{2}$ + $x$ − 5) = 84

8. Решите уравнение: ( $x^{2}$ − 1)( $x^{2}$ + 1) − 4( $x^{2}$ − 11) = 0

9. Решите уравнение: $x^{5}$ + $x^{4}$ − $6x^{2}$ − $6x^{2}$ + $5x$ + 5 = 0

10. При каких с не имеет корней уравнение: $x^{4}$ − $12x^{2}$ + с = 0

Задачи

Задача №1
Можно ли представить дробь 2/7 в виде суммы двух дробей, числители которых равны 1, а знаменатели — различные целые числа?

Задача №2
Токарь и его ученик, работая одновременно, обычно выполняют задание за 4 часа. При этом производительность труда токаря в 2 раза выше производительности ученика. Получив такое же задание, и, работая по очереди, они справились с заданием за 9 часов работы. Какую часть задания выполнил ученик токаря.

Задача №3
Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков. Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку, если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было?

Задача №4
На столе лежат 2005 монет. Двое играют в следующую игру: ходят по очереди; за ход первый может взять со стола любое нечетное число монет от 1 до 99, второй – любое четное число монет от 2 до 100. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

Задача №5
Имеются два сосуда, в первом из них 1 л воды, второй сосуд пустой. Последовательно проводятся переливания из первого сосуда во второй, из второго в первый и т. д., причем доля отливаемой воды составляет последовательно 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. от количества воды в сосуде, из которого вода отливается. Сколько воды будет в сосудах после 2007 переливаний?

Ответы к уравнениям

Уравнение	№ 1	№ 2	№ 3	№ 4	№ 5
Ответ	± $\sqrt{3}$	нет корней	± $\sqrt{2}$	-1; 3	± $\sqrt{3}$ ; ± $\sqrt{6}$

Уравнение	№ 6	№ 7	№ 8	№ 9	№ 10
Ответ	-4; 5	-3; 4	нет корней	±1; ± $\sqrt{5}$	c > 36

Ответы к задачам

Задача 1
Можно. Например, 2/7=1/4+1/28.

Задача 2
Ученик выполнит 1\2 часть задания

Задача 3
Так как стрелок попадал лишь в семерку, восьмерку и девятку в остальные шесть выстрелов, то за три выстрела (по одному разу в семерку, восьмерку и девятку) он наберет 24 очка. Тогда за оставшиеся 3 выстрела надо набрать 26 очков. Что возможно при единственной комбинации 8 + 9 + 9 = 26. Итак, в семерку стрелок попал 1 раз, в восьмерку – 2 раза, в девятку – 3 раза.

Задача 4
Опишем стратегию первого игрока. Первым ходом он должен взять со стола 85 монет. Каждым следующим, если второй игрок берет х монет, то первый игрок должен взять 101 – x монет (он всегда может это сделать, потому что если х – четное число от 2 до 100, то (101 – x) – нечетное число от 1 до 99). Так как 2005 = 101 × 19 + 85 + 1, то через 19 таких «ответов» после хода первого на столе останется 1 монета, и второй не сможет сделать ход, т. е. проиграет.

Задача 5
«Просчитав» несколько первых переливаний, нетрудно обнаружить, что после первого, третьего, пятого переливаний в обоих сосудах будет по ½ л воды. Необходимо доказать, что так будет после любого переливания с нечетным номером. Если после переливания с нечетным номером 2k-1 в сосудах было по ½ л, то при следующем переливании из второго сосуда берется 1/(2k + 1) часть, так что в первом сосуде оказывается — 1/2 + (2/2(2k + 1)) = (k + 1)/(2k + 1) (л). При следующем переливании, имеющем номер 2k + 1, из него берется 1/(2k + 2) часть и остается (k + 1)/(2k + 1)-(k + 1)/((2k + 1)(2k + 1)) = 1/2 (л). Поэтому после седьмого, девятого и вообще любого нечетного переливания в сосудах будет по ½ л воды.

Другие классы

Обновлено: 26/02/2015 , автор: Валерия Токарева