Курс математики в 9 классе посвящен достаточно серьезным темам. Ученики знакомятся с решением квадратных неравенств, понятиями множества и подмножества, числовыми функциями и прогрессиями. Участие в олимпиадах по математике для учеников 9 класса является хорошей возможностью подготовки к предстоящей ГИА.
На этой странице предложены реальные примеры олимпиадных заданий по математике. Ученикам предложены уравнения и задачи с решениями и ответами.
Данный материал может использоваться на занятиях для подготовки к олимпиаде, а также во время проведения контрольных или итоговых работ по математике. Подробные решения задач, расписанные внизу страницы помогут провести работу над ошибками и восполнить пробелы в знаниях учащихся.
Уравнения
1. Решите уравнение: −
− 3 = 0
2. Решите уравнение: −
+ 2 = 0
3. Решите уравнение: −
+ 4 = 0
4. Решите уравнение: ( +
)(
+
+ 2) = 3
5. Решите уравнение: x4 − + 18 = 0
6. Решите уравнение: ( −
− 16)(
−
+ 2) = 88
7. Решите уравнение: ( +
)(
+
− 5) = 84
8. Решите уравнение: ( − 1)(
+ 1) − 4(
− 11) = 0
9. Решите уравнение: +
−
−
+
+ 5 = 0
10. При каких с не имеет корней уравнение: −
+ с = 0
Задачи
Задача №1
Можно ли представить дробь 2/7 в виде суммы двух дробей, числители которых равны 1, а знаменатели — различные целые числа?
Задача №2
Токарь и его ученик, работая одновременно, обычно выполняют задание за 4 часа. При этом производительность труда токаря в 2 раза выше производительности ученика. Получив такое же задание, и, работая по очереди, они справились с заданием за 9 часов работы. Какую часть задания выполнил ученик токаря.
Задача №3
Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков. Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку, если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было?
Задача №4
На столе лежат 2005 монет. Двое играют в следующую игру: ходят по очереди; за ход первый может взять со стола любое нечетное число монет от 1 до 99, второй – любое четное число монет от 2 до 100. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?
Задача №5
Имеются два сосуда, в первом из них 1 л воды, второй сосуд пустой. Последовательно проводятся переливания из первого сосуда во второй, из второго в первый и т. д., причем доля отливаемой воды составляет последовательно 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. от количества воды в сосуде, из которого вода отливается. Сколько воды будет в сосудах после 2007 переливаний?
Ответы к уравнениям
Уравнение | № 1 | № 2 | № 3 | № 4 | № 5 |
Ответ | ±![]() |
нет корней | ±![]() |
-1; 3 | ±![]() ![]() |
Уравнение | № 6 | № 7 | № 8 | № 9 | № 10 |
Ответ | -4; 5 | -3; 4 | нет корней | ±1; ±![]() |
c > 36 |
Ответы к задачам
Задача 1
Можно. Например, 2/7=1/4+1/28.
Задача 2
Ученик выполнит 1\2 часть задания
Задача 3
Так как стрелок попадал лишь в семерку, восьмерку и девятку в остальные шесть выстрелов, то за три выстрела (по одному разу в семерку, восьмерку и девятку) он наберет 24 очка. Тогда за оставшиеся 3 выстрела надо набрать 26 очков. Что возможно при единственной комбинации 8 + 9 + 9 = 26. Итак, в семерку стрелок попал 1 раз, в восьмерку – 2 раза, в девятку – 3 раза.
Задача 4
Опишем стратегию первого игрока. Первым ходом он должен взять со стола 85 монет. Каждым следующим, если второй игрок берет х монет, то первый игрок должен взять 101 – x монет (он всегда может это сделать, потому что если х – четное число от 2 до 100, то (101 – x) – нечетное число от 1 до 99). Так как 2005 = 101 × 19 + 85 + 1, то через 19 таких «ответов» после хода первого на столе останется 1 монета, и второй не сможет сделать ход, т. е. проиграет.
Задача 5
«Просчитав» несколько первых переливаний, нетрудно обнаружить, что после первого, третьего, пятого переливаний в обоих сосудах будет по ½ л воды. Необходимо доказать, что так будет после любого переливания с нечетным номером. Если после переливания с нечетным номером 2k-1 в сосудах было по ½ л, то при следующем переливании из второго сосуда берется 1/(2k + 1) часть, так что в первом сосуде оказывается — 1/2 + (2/2(2k + 1)) = (k + 1)/(2k + 1) (л). При следующем переливании, имеющем номер 2k + 1, из него берется 1/(2k + 2) часть и остается (k + 1)/(2k + 1)-(k + 1)/((2k + 1)(2k + 1)) = 1/2 (л). Поэтому после седьмого, девятого и вообще любого нечетного переливания в сосудах будет по ½ л воды.
Другие классы
- Олимпиада по математике 11 класс
- Олимпиада по математике 9 класс
- Олимпиада по математике 10 класс
- Олимпиада по математике 8 класс
- Олимпиада по математике 7 класс
- Олимпиада по математике 6 класс
- Олимпиада по математике 5 класс
- Олимпиада по математике 4 класс
- Олимпиада по математике 3 класс
- Олимпиада по математике 2 класс
- Олимпиада по математике 1 класс